100个著名初等数学问题

第01题 阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum 

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.
    在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.
    在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.
    问这牛群是怎样组成的？

 第02题  德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac 
    一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.
    问这4块砝码碎片各重多少？

 第03题  牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows 
    a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；
    a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；
    a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；
求出从a到c"9个数量之间的关系？

 第04题  贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens 
    在下面除法例题中，被除数被除数除尽：
    * * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *
    * * * * * *
    * * * * * 7 *
    * * * * * * *
        * 7 * * * *
        * 7 * * * *
        * * * * * * *
        * * * * 7 * *
            * * * * * *
            * * * * * *
    用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？

 第05题  柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem 
    某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？

 第06题  伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters
    求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.

 第07题  欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division 
    可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？

 第08题  鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couples 
    n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？

 第09题  卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion 
    当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.

 第10题  柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem 
    求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.

 第11题  伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem 
    确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1^p+2^p+3^p+…+n^p.

 第12题  欧拉数The Euler Number 
    求函数φ(x)=(1+1/x)^x及Φ(x)=(1+1/x)^x+1当x无限增大时的极限值.

 第13题  牛顿指数级数Newton's Exponential Series 
    将指数函数e^x变换成各项为x的幂的级数.

 第14题  麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series 
    不用对数表，计算一个给定数的对数.

 第15题  牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series 
    不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.

 第16题  正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series 
    在n个数1，2，3，…,n的一个排列c₁，c₂，…，c_n中，如果没有一个元素c_i的值介于两个邻近的值c_i-1和c_i+1之间，则称c₁，c₂，…，c_n为1，2，3，…,n的一个屈折排列. 
    试利用屈折排列推导正割与正切的级数.

 第17题  格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series 
    已知三条边，不用查表求三角形的各角.

 第18题  德布封的针问题Buffon's Needle Problem 
    在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？

 第19题  费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem 
    每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.

 第20题  费马方程The Fermat Equation 
    求方程x²－dy²=1的整数解，其中d为非二次正整数.

 第21题  费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem 
    证明两个立方数的和不可能为一立方数.

 第22题  二次互反律The Quadratic Reciprocity Law 
    （欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式
    （p/q）·（q/p）=（－1）^{[(p-1)/2]·[(q-1)/2]}.

 第23题  高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra 
    每一个n次的方程zⁿ+c₁z^n-1+c₂z^n-2+…+c_n=0具有n个根.

 第24题  斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots 
    求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.

 第25题  阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem 
    高于四次的方程一般不可能有代数解法.

 第26题  赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem 
    系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A₁e^α1+A₂e^α2+A₃e^α3+…不可能等于零.

 第27题  欧拉直线Euler's Straight Line 
    在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.

 第28题  费尔巴哈圆The Feuerbach Circle 
    三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.

 第29题  卡斯蒂朗问题Castillon's Problem 
    将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.

 第30题  马尔法蒂问题Malfatti's Problem 
    在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.

 第31题  蒙日问题Monge's Problem 
    画一个圆，使其与三已知圆正交.

 第32题  阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius. 
    画一个与三个已知圆相切的圆.

 第33题  马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem. 
    证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.

 第34题  斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem 
    证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出.

 第35题  德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem 
    画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.

 第36题  三等分一个角Trisection of an Angle 
    把一个角分成三个相等的角.

 第37题  正十七边形The Regular Heptadecagon 
    画一正十七边形.

 第38题  阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi 
    设圆的外切和内接正2^vn边形的周长分别为a_v和b_v，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a₀，b₀，a₁，b₁，a₂，b₂，…其中a_v+1是a_v、b_v的调和中项，b_v+1是b_v、a_v+1的等比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.

 第39题  富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral 
    找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）

 第40题  测量附题Annex to a Survey 
    利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.

 第41题  阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem 
    在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.

 第42题  由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii 
    已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆.

 第43题  在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram, 
    在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点.

 第44题  由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents 
    已知抛物线的四条切线，作抛物线.

 第45题  由四点作抛物线A Parabola from Four Points. 
    过四个已知点作抛物线.

 第46题  由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points. 
    已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线.

 第47题  范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem 
    平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？

 第48题  卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem. 
    一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？

 第49题  牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem. 
    确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹.

 第50题  彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem 
    确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.

 第51题  作为包络的抛物线A Parabola as Envelope 
    从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0.
    求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.

 第52题  星形线The Astroid 
    直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.

 第53题  斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid 
    确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.

 第54题  一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral 
    一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？

 第55题  圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections 
    确定一个圆锥曲线的曲率.

 第56题  阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola 
    确定包含在抛物线内的面积.

 第57题  推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola 
    确定双曲线被截得的部分所含的面积.

 第58题  求抛物线的长Rectification of a Parabola 
    确定抛物线弧的长度.

 第59题  笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles) 
    如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.
    反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.

 第60题  斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction 
    由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.

 第61题  帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem 
    求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.

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