人教版高中数学第二册(上)  7.3两条直线的位置关系之四
《点到直线的距离》说课教案    仁寿一中  唐和平

1.      教材分析:

1. 本节课的主要内容是点到直线的距离公式、平行线间的距离公式；渗透数形结合、等价转化的思想，培养探究能力；

2. 本节课点到直线的距离知识承前是本节两条直线位置关系的应用,是初中平面几何的延续；启后,它是研究解析几何中关于距离问题的重要工具；

3. 学习与探求一个新知识对多数学生来说有一定的难度，故通过学习，有助于让学生在生活与工作中学会处理困难的能力。

2.      目标分析:

1. 基于点到直线的距离这种地位,本节课要求学生了解距离公式的推导,牢记距离公式，熟练运用距离公式；培养学生将“形”的问题向“数”的运算转化的思想，代数与几何相结合的解析思想，培养学生观察事物，探究和获取新知识的能力；在教学方式上，通过学生亲自推导公式，在做数学中学数学，发挥学生自主学习、在交流中互相帮助，互相促进；

2. 根据大纲的教学目的和要求,本节课教学重点是点到直线距离公式的推导过程,因为,成功的公式推导有利于学生巩固所学知识和更熟练的记忆公式;本节课的难点有两个:一是距离公式的推导,因为这里有常规方法（用两点间的距离公式）“易想证繁”,技巧方法（等积法）“难想易证”;二是公式的应用,因为公式形式较繁。

3.      教学方法分析:

1. 教具:由于本节课是数形结合的典范，故辅助使用Microsoft powerpoint课件,利用动画反映出图象的变化,其优点迅捷,形象生动；

2. 教法分析:根据本节课的教学目标和学法要求,分别采用讲解法、演示法、类比法、练习法及提问启发配合应用.因为本节课为新知识讲授课,故要采用讲解法;推导距离公式要结合图象,所以要用演示法;在讲解中比较距离的几何作法、求法与代数算法的优劣点,故采用类比法;为达到“正确使用--熟练记忆--熟练运用”这三步曲,故要用练习法;在讲解中多次设问,启发学生积极思维；

3. 学法分析:因为解析几何的特点,要求学生在学习中看、画、说、想、练五者有机的结合，“数有形，形有数，数形结合显神威”，所以数形结合法,练习法就成了本节课学生必采取的学习方法。

4.      教学过程分析:

1.教学程序及时间安排: （时间45分钟）

(1) 复习引入（5分钟）：

前奏：五千多年前的古埃及，尼罗河年年泛滥，冲毁人们的家园和良田，洪水过后，人们重新分配土地，在丈量的过程中，得出了两点间的距离，需要计算土地的面积，这样就产生了点到直线的距离问题。(来点历史，提高学生兴趣)

①．两点间的距离公式？(数轴上两点的距离；两点所在直线平行于数轴时两点的距离；坐标平面上任意两点的距离) （课件演示，教师提问）

②．点到直线的距离的定义？（教师提问，课件演示图象）

③．由复习中点到直线的距离在平面几何中的求法提问：可不可以用代数方法来算点到直线的距离?(课件演示平面直角坐标系中点到直线的距离的图象)

说明：距离产生的历史让学生产生探索的兴趣，由点点距离自然引入点线距离。

(2) 研究探索，寻找转化，推导公式（18分钟）：

方案1：利用学生已有的知识

------点点距离，自然想到点线距离

转化为点点距离。所以就有下列解

决新问题的过程(“只说不练”)：

如图：设PQ为点P到直线l

的垂线段，即d=|PQ|，由PQ⊥l知，

，再由点斜式写出

PQ所在的直线方程，联立l和PQ

的直线方程求出Q点的坐标，最后

利用两点间的距离公式求出|PQ|．

说明：

①．思路清晰自然，但计算太繁，故教师“光说不练”，学生动手推导体会难度；

②．通过实战，教师强调：研究解析几何问题一般离不开代数运算，一方面，要求我们要有一定的运算能力，敢于“硬碰硬”；另一方面，我们也应该牢记“见繁就变，见简即用，不效一法，乃为通术”的原则；这样就过渡寻求另法解决；

③．为了推导的科学性与严密性，应先假设A≠0，B≠0．

方案2：回忆在平面几何中求点

线距离的方法：构造直角三角形。

设A≠0，B≠0，如图所示，此

时l与x轴、y轴都相交，由x轴⊥

y轴这一特点，过P作x轴的平行线，

交l于点；作y轴的平行线，

交l于点，构造直角，

分析如何求线段|PQ|的长？

说明：

①．结合平面几何知识，引导学生分析出利用等积法求线段|PQ|的长。然后教师给出推导过程(课件演示图象，教师板书推导过程，这样学生才印象深刻)

②．注意要点明等积法求距离也是立体几何中求距离的一个重要方法.

③．当A=0，B≠0时，直线l方程

为：By+C=0,即，由上面公式

计算得：

这说明，当A=0，B≠0时，以上公式

仍然适用；同理，当B=0，A≠0时，

公式也适用；

④．另一方面，当A=0或B=0时，

也可以不用上面公式而直接求出距离；

综上，得点到直线的距离公式。

(3) 分析公式特点,教会学生记忆方法. (1分钟)

(4) 讲解例1用:演示课件中图象,达到计算与图象的完美结合. (4分钟)

说明:

第(2)小题既可以代公式计算,

也可以根据图象(右图)特点直接运

算(这里图象演示尤为重要)

(5) 讲解例2:演示课件中的图

象,观察平行线间的距离处处相等,

提出问题:怎样求已知两条平行直线

的距离? (8分钟)

教师给出分析和解答：根据平

行线间的距离处处相等这一性质，

将线线距离转化为点线距离；在任

一直线(以能取出的点越简单越好)比

如：在2x-7y-6=0上任取一点P(3,0)，

则点P到直线2x-7y+8=0的距离就是

两条平行线间的距离。

说明：

①．是否可以在一直线上

任意取一般的点来求两条

平行线间的距离距离?

 

在直线2x-7y-6=0上

任取一点，

则点P到直线2x-7y+8=0

的距离也是两条平行线间

的距离，因此

  (﹡)

②．上述过程也是用代数方法证明了“平行线间的距离处处相等”这一性质；

③．观察(﹡)式，能不能得出两条平行线间距离的一般公式？

这就是课本P₅₄第15题，请学生课外证明该公式：

(6) 课堂练习与讲评：(6分钟)

(1)    求原点到下列直线的距离：① 3x+2y-26=0        ② x=y

(2)    求下列点到直线的距离：① A(-2,3),3x+4y+3=0  ② B(1,0),

(3)    求下列两条平行线的距离：2x+3y-8=0,  2x+3y= -18

说明：练习时要有时间限制，时间允许可以抽学生在黑板上演算．

(7) 课堂小结: (2分钟)

(1) 通过学习点到直线距离公式的推导过程，深刻理解“见繁就变，见简即用，不效一法，乃为通术”的思想，为以后解解析几何题打下基础；

(2) 熟练掌握并应用点到直线距离公式和平行线间的距离公式；

(3) 熟练掌握数形结合、转化的数学思想．

(8) 课外作业：课本P₅₄：  13题至16题．(1分钟)

2.关于教学过程的几点说明与反思:

(1) 从三个方面突出重点：一是详细的讲解；二是多媒体课件与板书推导的完美结合；三是练习巩固距离公式；

(2) 从两个方面突破难点：一是多媒体课件变化多端、形象直观,学生在趣味中来学;二是评讲纠错；

(3) 板书设计：本节课若没有多媒体辅助教学,那么将是老师讲得累,学生学得苦；但数学课一味依赖多媒体课件,而没有老师的板书和关键步骤的亲自演算,那数学课将失去它的味道，所以板书演算也是非常必要的。

(4) 课后反思：

本节课教学围绕“设疑-----解疑-----应用”逐一展开，同时把两平行线间距离公式做为本节课的第二重点，对教材内容进行优化组合；在教学过程中，通过设问、解问、应用逐步递进发挥学生自主学习，在做数学中学数学，在交流中互相帮助，互相促进；在课堂上引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，充分体现师生合作、师生互动的思想。