本章内容作为高中数学中仅有的两章解析几何知识的第一章，是属于解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的基础，也是学习导数，微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有着广泛的应用，而本节教材是本章教材三大部分的第一部分中的重要内容，是本章环环紧扣的知识链中必不可少的一环。
这节课“点到直线的距离”是本节教材“两直线的位置关系”的最后一个内容，在解决实际生活问题中以及代数、解析几何、立体几何中都有着重要而广泛的应用。例如：求最小值问题，对一些新知识新概念的定义，建立方程的问题等等，立竿见影，运用点到直线的距离公式都可以简便迅速地解决问题，还可使学生形成完整的直线这部分知识的结构体系。

  2、本节内容的具体安排及编写思路：

出于简洁性的考虑，教材编写单刀直入地直接提出核心问题，并给予解决的方法。我编写本节教案时，通过创设问题情境引入课题，降低难度，教给学生从特殊到一般的研究问题的方法和策略，激发学生去解决问题，探究问题，得出结论。在这个过程中，老师作适当的点拨、引导，让学生逐步逼近目标，充分展示数学知识产生的思维过程，让学生均能自觉主动地参与进来。教师的主导作用，学生的主体地位都得以充分体现，然后让学生自己归纳、总结得出结论，享受成功的喜悦和快乐。对教材上的例10、例11，由于是直接应用点到直线的距离公式，较易，故我让学生直接去阅读、去理解，熟悉点到直线的距离公式。但对例11的稍许变化，却抓住不放，通过例11的解法的启示，激发学生进一步去应用点到直线的距离公式去探究二平行直线间的距离公式，利用有限的时间和学生刚成功的那一股学习的惯性，对教材进行拓广，让学生对归纳总结出的公式有更加深刻、透彻的理解和掌握，达到灵活应用的目的。

3．教学目标：

1）、使学生掌握点到直线的距离公式及结构特点，并能熟练准确的应用这一公式，达到理解掌握知识的目的。

2）、学会寻找点到直线距离公式的思维过程及推导方法，培养学生发现问题、探究问题的能力。

3）、教学中体现数形结合、转化的数学思想，分类讨论的数学思想，培养学生在研究讨论问题时的数学技能和实际动手能力以及思维的严密性。

4）、教学中鼓励同学相互讨论，取长补短，培养学生的合作意识和团队精神。

4．重点、难点：

    理解和掌握点到直线的距离公式，熟练的应用公式求点到直线的距离是本节学习的重点，难点是点到直线距离公式的推导。

二．学情分析：

    我所在的学校——四川省渠县中学，虽然是一个国家级重点中学，但同时又由于渠县是一个农业大县，一个国家级贫困县，80%以上的学生来自偏远的乡村及山区，教育理念和教育水平都较落后，学生在小学、初中阶段基本上都是在死记硬背、囫囵吞枣中渡过的，很少在数学上享受过真正意义上的研究问题、探索发现问题的乐趣，都习惯于跟着老师的思路走，不善于自己开动脑筋去研究问题、探索问题。鉴于此，我们在教学中正逐步采用探索式教学，引导学生自己理解、掌握知识，逐步培养和提高学生发现问题、探索问题的能力，以及合作意识和合作精神的目的。

三．主要教学构想：

     通过创设问题情景自然引入课题，降低教材难度。主要由学生去探究，去发现，去讨论，去归纳总结得到公式，再辅以适当的例题、习题帮助学生熟悉公式，学会运用。特别是引导学生对例11的进一步探究，既拓广了教材，又进一步加深了同学们对从特殊到一般的研究方法的理解。从而达到探究——讨论——归纳总结——完善结论——牢固掌握——灵活运用的目的。

四．教学过程：

1．创设问题情境：

实例：某供电局计划年底解决本地区最后一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计的坐标图（即以供电局为直角坐标原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴，长度单位为千米），得知这个村庄的坐标是（15，20），离它最近的只有一条直线线路通过，其方程为：3x – 4y – 10 = 0, 问要完成任务，至少需要多长的电线？（如图4—1所示）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                   （图4—1）

 

〈字幕出示题及图，让学生阅读、理解、思考，约2分钟〉

引入课题：

[师讲]同学们，通过刚才的读题和理解已经知道，这实际上是一个求点到直线的距离的问题，也即我们这节课所要研究讨论的问题。

2．解决问题情境：

[师继续讲]下面，请同学们应用已学过的知识，自己想一个办法来解决此问题，甚至不一定要求结果，只要得出一个思路即可。

〈让同学思考、讨论约5分钟，然后让学生自己举手回答，老师点评，约10分钟〉

学生可能的回答：

[答一] 拉一根绳子量一下即可。

[师问]可以，但哪里去找那么长的绳子？还有其它办法吗？

可能会有学生众补充：测距仪！测距仪！

[师肯定]好办法！将来肯定是做工程师的材料！请坐下。

[师继续]但如果由于条件的限制，我们手里仅有纸、笔及三角板（或直尺），能不能发挥我们的数学特长，用所学数学知识来解决呢？

[答二]可用代数的方法解决：在直线上任取一点Q()，      

由两点间距离公式可得：

︱PQ︱=                   

可以肯定，被开方式是一个二次项系数为正的二次函数，x₀ 又不受限制，应该有最小值，从而︱PQ︱有最小值，此最小值即为所求。

[师肯定]好思路！既利用了直线方程设出了直线上的一点，又利用两点间的距离公式得到了一个二次项系数为正的二次函数，且不管根号的影响，大着胆子求二次函数的最小值，求出的最小值开平方即得结果。但要考虑两个问题：①求出的二次函数的最小值有无为负数的可能？②此种方法的运算量是否偏大？同学们可利用课后时间试着推演一下。

[答三]要求点P到直线上的点的最短距离，即求点P到直线的距离，由点到直线距离的概念，直接过点P作PQ垂直于直线于Q点，则线段PQ的长即为所求。（如图4—2所示）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                           （图4—2）

 

利用斜率存在的二直线垂直的条件，可得：

 ，从而由点斜式可得到PQ的方程，进而联立直线的方程可解得点Q的坐标，再由两点间的距离公式可得出：︱PQ︱= 9

[师肯定]好思路！直接运用了刚学过的直线的方程，二直线的交点，二直线垂直的条件，两点间的距离公式等知识，用到了解析几何的基本方法。在有数据做具体运算时不失为一种好方法，但仍有一定的运算量。不信，同学们下来后又可验算一番。

[答四]<可能预习过教材的同学>

过P作PQ垂直于直线于Q点，则PQ即为所求，再过点P分别作轴、轴的平行线分别交直线于M，N点（如图4—3所示）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     

 

（图4—3）

 

易得点M，N的坐标，从而得到|PN|,|PM|,|MN|，进而由直角三角形面积公式得：|PQ|= 。

[师肯定]方法相当不错！既有数形结合的思想，构造的思想，又妙用了解析几何中坐标的概念，直线上的点的概念及两点间的距离公式等知识。但为什么如此做呢？（老师分析、归纳）：该做法充分运用了点P的坐标的意义，通过体现点P的坐标，发现过P作轴、轴的平行线时与直线有二交点，这二交点与点P自然而然地构成了一个直角三角形，又由于这二交点在直线上，从而可得二交点的坐标，再由两点间的距离公式可进一步得到直角三角形的三条边长，至此，由直角三角形面积公式得到点P到直线的距离|PQ|也就是水到渠成的事情了。但仍显得有一定的运算量。

（如果学生还有其它解法，老师可在黑板上随机应变地板书。）

（如果学生一个方法均未想到，老师可作如下引导：<字幕逐条显示，图形中的线段依顺序逐一显示>

①    什么是点P到直线的距离？

过P作直线的垂线，垂足为Q，则|PQ|即是点P到直线的距离。（如图4—4所示）

②    点P的坐标的意义如何？

   过P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为K、I，则有向线段KP、IP的数量即为点P的坐标。

③    体现一下点P的坐标如何？

发现，过P作轴的垂线时，与直线有一交点N，且N点的横坐标与点P的横坐标一致，而N点在直线上，从而由直线的方程可得N点的纵坐标，进而得线段PN的长。

受此启发，过P作轴的垂线PI时，由于与直线无交点，故作PI的反向延长线与直线交于点M，从而点M的纵坐标与点P的纵坐标一致，且横坐标通过直线的方程也易求得，线段PM的长也就求得了。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                      （图4—4） 

 

 

④眼前一亮，直角三角形MPN已浑然天成，且MN的长也可由两点间距离公式求得，从而由直角三角形面积公式可求得|PQ|的长。

3．点到直线距离公式的推导：〈15分钟〉

[师讲]通过前面[答二]、[答三]、[答四]，我们都遇到了同一个拦路虎，即运算量较大的问题，而我们今后将会遇到大量的类似问题，如果都如此运算，未免太浪费宝贵的时间。此时此刻，我们多么需要有一个简便的运算点到直线的距离的公式来解救我们！

下面，就让我们去探究这个公式吧，用我们今天的辛苦去换取我们明天的简捷吧！（暗示公式的存在，激发同学们探究的兴趣，增强同学们探究成功的信心。）

[出示问题]在平面直角坐标系中，如果已知某点P的的坐标为（）,直线的方程是Ax+By+C=0,（如图所示），怎样由点的坐标和直线的方程去直接求点P到直线的距离？

[师讲]下面，仍然请同学们自己想办法解决此问题。（可以让前面一排的同学转过去与后面的同学每四个人一组进行讨论解决。老师到同学们中间去巡视，了解同学们的思路，及时的加以点拨，同时也对同学们的探究方法和探究能力做到心中有数。）

[老师估计]由于有前面的[答二]、[答三]、[答四]或老师的引导作铺垫，（这个铺垫非常重要！故前面占用了较多的时间也不可惜！）故大多数同学可能会按[答四]的方法做：  <老师可以作预见性的字幕板书，在大多数同学完成后再出示。如有同学按[答三]的思路做，老师提示，运算量太大，一般不采用。>

过点P作轴的平行线，交于点R（）；作轴的平行线，交于点S（）。（如图4—5所示）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                            

 

 

（图4—5）

 

由： ，得：

 ，

从而 

         

从而：

再由三角形面积公式可知：

所以

此时，可能同学们会大舒一口气，但老师紧接着进一步提出：“诸位，考虑到A,B为零的情况没有？请进一步考虑一下A,B为零的情况如何？”

<抓住同学们思维不慎密之处，体现严密的逻辑思维，体现分类讨论的思想>

同学们的思维可能又重新活跃起来，进行分类讨论：

①当A=0，B=0时，不可能，直线都不存在。

②当A=0，B≠0时，

直线为：By+C=0（C是否为零呢？不重要！）

亦即：,直线为平行于轴（或重合于轴）的直线，

 则：

③当 A≠0，B=0时，直线为：

Ax+C=0，亦即：

直线为平行于轴（或重合于轴）的直线，

 则：

    ④当A≠0，B≠0时，即为前面的推导。

此时，才可让同学们归纳总结得出点到直线的距离公式：

[老师强调]：

①公式中A,B,C，的意义。

②公式的构造特点。（请同学自己找特点，然后老师具体说明：分子是用代换直线方程中的、，然后取绝对值，分母是直线方程中的、的系数的平方和的算术平方根。）

4．公式应用及拓广：

[师讲]下面，请同学们打开书第52页，阅读例10，例11<2分钟>。

[老师提出] 

①深刻理解公式，准确灵活应用公式。

②由例11，请同学们再次动手，探索：

二平行直线：， （A≠0，B≠0）之间的距离公式。<字幕出示>

有例11的启发，同学们可能探索<约5分钟>：在上任取一点P()则之间的距离即为点P（）到直线的距离：

（这一步同学们可能会停顿犹豫，老师可引导：不是已知，需转化。）

[老师强调]此结论可作补充公式。

5.课堂练习：<4分钟>

教材第53页：1、2、3< 抽同学回答，老师复述或纠正，检验同学们对公式的掌握及运算的准确性>

6.小结及延伸：（1分钟）

[师讲]本节课由于有同学们的辛勤探索，积极思维才得到了两个重要公式：

，

请同学们一定倍加珍惜自己的劳动成果，牢固掌握和灵活运用这两个公式。

学有余力的同学课后还可以进一步考虑：是否还可用已学的向量知识去进一步探索点到直线的距离公式？

7.布置作业：<1分钟>

1>习题7.3第13.14.16题。

2>求过点A（-1，2），且与原点的距离等于的直线方程。（x+y-1=0或7x+y+5=0）

3>过原点和点A（1，3）作两条平行直线，使它们的距离等于，求这两条平行直线的方程。（ 或 ）
四川省渠县中学数学组   张铭                   2004年9月