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| 立体几何的空间图形应该怎样转动? | |||||
作者：佚名 课件教程来源：网络 点击数： 更新时间：2006-10-5  |
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为了使大家对文[1]介绍的方法有所了解，先把文[1]介绍的方法摘引如下： “下面以正方形的直观图为例说明作图步骤（阅读前应先了解《几何画板》的主要功能和基本操作）： 1、作线段m和点S，以S为圆心m的长为半径作圆S并在圆上取动点A，作半径SA，在SA上取点B，以S为圆心，SB为半径作小圆S。 2、在大圆S上取动点C，作射线CS交大圆于C、D，交小圆于C1、D1，过S作CS的垂线分别交两同心圆于E、F和E1、F1。 3、过C作SA的垂线与过C1所作SA的平行线交于M点，对点D和D1，E和E1，F和F1，同样作出P，N，Q三点（也可以先作出M，Q两点再旋转得到P，N两点）。连结M、N、P、Q，得到平行四边形（如图1）” 显然，文[1]画法中，点M所在位置与点C按照斜二测画法画出的位置完全不同。 实际上，要作出转动正方形的斜二测画投影图并不困难，作法如下： (1)、作水平线l和圆O，在圆O上取动点A，以O为中心，将A分别逆时针旋转90°、180°、270°，作出点B、C、D，连结可得转动正方形ABCD。 (2)、过A作直线l的垂线n，交l于A1点，以A1为中心，将A顺时针旋转45°并缩放为原来倍，得点E，同理可得点F；以O为中心，将E、F旋转180°，可得点G、H，连结点E、F、G、H得到平行四边形EFGH， 该四边形即为正方形ABCD的斜二测画投影图（如图2）。 (3)、定义点A在圆O上的动画，双击“动画A”按钮，可看到随着正方形ABCD的转动，其投影平行四边形EFGH随之转动，其轨迹为椭圆。 文[1]还谈到拖动图1中的B点可以模拟水平视角的改变，这种方法对平面图形勉强尚可，但对几何体则很难适用。下面介绍一个水平视角 可以变化的正方形的投影图的作法： (1)、作铅直线a和圆O，得交点S，在圆O上取动点T，过T作a的垂线b交a于T1，以T1为中心，将T逆时针旋转45°并缩放为原来的倍， 得点P，连结OP（如图3），标记角∠SOP，标记比。 (2)、另作水平线h和圆O1，在圆O1上作正方形ABCD（如图4，图中为水平放置正方形），以A的垂足A1为中心，将A按(1)中的标记角和标记比进行旋转和缩放，得到点E，同理得点F，以O1为中心，将E、F旋转180°得点G、H，连结E、F、G、H，平行四边形EFGH即为正方形ABCD的投影图。 (3)、定义图3中点T在圆O上的动画（P的轨迹为椭圆），可以看到图4中平行四边形EFGH随之绕水平直线h上下转动。 有了上述两种作法为基础，我们就可以作出既能水平方向转动又能垂直方向转动的正方体，作法如下： (1)、作圆O，水平线OT交圆O于点T，将T点以O为中心逆时针旋转90°得点S，以O为中心将S点缩放为原来的倍，得点S1（如图5）。 (2)、作圆O1和铅直线m，在圆O1上取动点A，以O1为旋转中心将点A顺次逆时针旋转90°，得点B、C、D，作点A在直线m上的垂足A1，以A1 为中心，将点A逆时针旋转45°并缩放为原来的倍，得点E，同理可得点F、G、H，取EH的中点K（如图6）。 (3)、标记向量FO，将线段FE按标记向量平移得到线段OE1，标记角∠S1OE1，标记比。 (4)、作水平直线n和圆O2，在圆O2上取动点A′，以O2为旋转中心将点A′顺次逆时针旋转90°，得点B′、C′、D′，作点A′在直线n上的垂足A2，以A2为中心，将点A′按(3)中的标记角和标记比进行旋转和缩放，得点E′，同理得点F′、G′、H′，连结E′、F′、G′、H′，得平行四边形E′F′G′H′（如图7）。 (5)、取点O3，标记向量KO3，将线段EH按标记向量平移得到线段MN；标记向量O2M，将四边形E′F′G′H′按标记向量平移，得四边形WXYZ；标记向量O2N，将四边形E′F′G′H′按标记向量平移，得四边形W1X1Y1Z1连结WW1、XX1、YY1、ZZ1，得正方体WY1（如图8）。 (6)、在图6中，定义点A在圆O1上的动画，在图7中，定义点A′在圆O2上的动画，双击按钮“动画A′”，可以看到图8中的正方体水平方向旋转，双击按钮“动画A”，可以看到图8中的正方体垂直方向旋转。 根据上文所述转动正方体的制作原理，还能作出既可水平转动又可垂直转动的正棱锥和正棱台等几何体，以这些转动几何体为模型，教师就可以制作出一系列CAI课例，从而使我们的立体几何教学突破原有教学手段的束缚，进入一个崭新的领域。 注：文[1]见范登宸等，让立体几何图形动起来，《数学通报》1999年第2期。 |
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